26.12.02
    Наш сайт дает возможность составить общее представление о развитии математической культуры в России.

   Математика до XVII века.       

   Математика в XVII веке.

   Организация школ.

   "Арифметика" Магницкого.

  Основание Академии наук.

  Эйлер.

  Организация университетов.

  И.Н. Лобачевский.

  Петербургская школа.

  М.В. Остроградский.

  П.Л. Чебышев.

  А.А. Марков.

  А.М. Ляпунов.

  С.М. Ковалевская.

  Московское общество.

  вернуться

Научная работа в России в XVIII и XIX веках.

  Андрей Андреевич Марков

Содержание: Биографические сведения. А.А. Марков как гражданин. Круг научных интересов. Первый период работ по теории вероятностей. Второй период исследований по теории вероятностей. Последствия идей Маркова.

     Биографические сведения. Развитие классических работ знаменитого русского математика Пафнутия Львовича Чебышева по теории вероятностей и создание нового, в настоящее время основного, направления исследований в этой науке тесно связаны с именем другого русского математика – Андрея Андреевича Маркова.

     Андрей Андреевич Марков родился 14 июня 1856 г. в Рязанской губернии. Его отец сначала был сельским диаконом, но затем переехал в Петербург, где, получив звание частного поверенного, успешно занимался адвокатской практикой.

     Среднее образование А.А. Марков получил в гимназии. Он не был в числе лучших учеников; напротив, из гимназии неоднократно поступали жалобы на его неудачи по всем предметам за исключением математики. Были предупреждения отцу, что эта неуспеваемость может привести к исключению сына из учебного заведения. Впрочем, в последних классах самому Маркову занятия в гимназии были настолько тягостными, что он подумывал об оставлении ее и переходе в техническое учебное заведение. Особенно досаждали ему древние языки.

     Увлечение математикой у Маркова началось в гимназические годы. Уже тогда он приступил к самостоятельному изучению высшей математики. Эти занятия, как ему казалось, привели его к открытию нового метода интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентами. Метод, найденный Марковым, был, однако, не нов в науке, но это первое самостоятельное открытие привело к знакомству с университетскими профессорами и навсегда определило его дальнейшие занятия.

     Восемнадцати лет Марков окончил гимназию и поступил в Петербургский университет. В то время там читал лекции великий русский математик П.Л. Чебышев. Влияние Чебышева на развитие и направление научных интересов молодого студента оказалось решающим.

     Университет Марков окончил в 1878 г. с золотой медалью за научную работу «Об интегрировании дифференциальных уравнений при помощи непрерывных дробей». Через два года после этого он защитил магистерскую диссертацию и начал преподавать в Петербургском университете, сначала в качестве приват-доцента, а с 1886 г. – в качестве профессора.

     Педагогическая деятельность Маркова была пронизана желанием дать предельно ясное и одновременно безупречно строго изложение предмета без загромождения его материалов. Теорию он иллюстрировал мастерски подобранными примерами, разбираемыми, как правило, до числовых расчетов. Об этих особенностях Маркова-педагога мы можем судить не только по рассказам его учеников, но также по написанным им учебникам: «Исчисление конечных разностей» и «Исчисление вероятностей». Математические и литературные достоинства этих книг столь велики, что почти немедленно после появления их русского издания последовало издание их иностранных переводов. Что эти книги принадлежат перу настоящего мастера, вложившего в них много труда и любви, показывает и то обстоятельство, что, спустя десятилетия после их написания, они поражают свежестью и богатством заключенных в них идей. Нередко и теперь к книгам Маркова обращается как новичок, впервые приступивший к изучению науки, так и зрелый ученый, имеющий за своими плечами многолетний опыт научной деятельности. Педагогической работы Марков не прерывал до последнего года жизни, но с 1905 г. значительно сократил количество читаемых им курсов, вышел в отставку и продолжал преподавание лишь в качестве приват-доцента.

     Уже через восемь лет после опубликования Марковым первой научной работы его научные заслуги были настолько  велики, что по предложению П.Л. Чебышева Академия наук избрала в 1886 г. адъюнктом; через четыре года он был избран экстраординарным академиком, а еще через шесть лет – ординарным академиком.

     Дальнейшая жизнь Маркова целиком посвящена науке. Свои последний мемуар он представил Академии наук всего лишь за несколько месяцев до смерти. Тяжелый недуг свалил его в постель, и 20 июля 1922 г. он умер.

     А.А. Марков как гражданин. А.А. Марков был не просто ученый, ничего не видящий за пределами своих узких интересов, это был ученый-борец. Всю свою жизнь он вступал в яростную борьбу со всем, что шло в разрез с его научными принципами. Его при этом не останавливали ни лица, против которых ему приходилось выступать, ни возможные последствия для его собственной карьеры. В этом отношении любопытна его многолетняя дискуссия с профессором Московского университета П.А. Некрасовым, в молодости не плохим математиком, а впоследствии реакционером и мистиком. Некрасов занимал крупные служебные посты и имел тесные связи с руководящими кругами Министерства народного просвещения. Именно эти годы служебных удач совпадают с деградацией его научного творчества и, вместе с тем, колоссальным увеличением его печатной продукции. Некрасов, будучи попечителем одного из учебных округов, а также автором учебников, имел серьезное влияние на преподавание. Марков многократно и резко выступал устно и письменно, в печати и путем личной переписки против Некрасова, вскрываю не только вздорность ученых потуг последнего, но и вред всей его «просветительской» деятельности.

     Не менее характерны для Маркова и другие эпизоды его жизни: отказ от чинов и орденов, резкие протесты против исключения М. Горького из числа членов Российской Академии наук, письмо в Синод с требованием отлучения его, Маркова, после того, как от церкви был отлучен Л.Н. Толстой, и пр.

    Круг научных интересов. Научное творчество Маркова весьма разнообразно. Первые  годы он интересовался теорией чисел, дифференциальными уравнениями, теорией функций и другими вопросами; позднее он целиком занялся теорией вероятностей. Результаты, получаемые им в каждой из названных областей, способны были создать ему имя крупного ученого. Многие его работы воспринимаются и теперь как классические произведения математики, и все еще продолжают питать идеями, методами и постановками задач новые поколения исследователей. Однако самые значительные достижения Маркова принадлежат теории чисел и теории вероятностей. Пожалуй, в первую очередь – последней из них, так как если в теории чисел он способствовал развитию одного-двух ее разделов, то в теории вероятностей его труды привели ее только к значительному прогрессу существовавших до него направлений, но и к коренному преобразованию всей этой науки. Эти работы принесли ему всемирную известность не только среди математиков, но и среди физиков, техников, естествоиспытателей. Именно здесь во всей полноте скрылись сила, разносторонность и своеобразные черты его дарования. Именно эти исследования дали толчок к созданию и последующему бурному развитию основного в настоящее время раздела теории вероятностей – теории стохастических процессов – раздела математики, играющего крупную роль в современной теоретической физике, а также в математической обработке многих технических и естественнонаучных теорий.

     Первый период работ по теории вероятностей. Первые работы А.А. Маркова по теории вероятностей являются непосредственным продолжением и завершением исследований П.Л. Чебышева и относятся, во-первых, к установлению наиболее общих условий, при которых имеет место закон больших чисел, и, во-вторых, к доказательству центральной предельной теоремы теории вероятностей. П.Л. Чебышев сформулировал эту теорему, дал набросок метода ее доказательства (метод моментов), но сам строгого доказательства не дал. Маркову удалось осуществить идеи П.Л. Чебышева и дать безупречное доказательство указанной теоремы в весьма широких условиях. Марков шел очень сложным и остроумным путем через разложение в непрерывную дробь интеграла особого вида. В 1900-1902 гг. эти результаты Маркова были перекрыты академиком А.М. Ляпуновым, шедшим своим собственным путем, отличным от идей П.Л. Чебышева. При этом казалось, что теорема, сформированная в таком виде, уже не может быть доказана методом Чебышева. Несколько лет Марков размышлял о том, каким способом можно восстановить честь метода моментов, и, наконец, нашел исключительное по силе, простоте и изяществу доказательство теоремы А.М. Ляпунова. Это доказательство помещено в качестве дополнения к книге Маркова «Исчисление вероятностей». Идея рассмотрения вместо заданных случайных величин других, почти совпадающих с ними, заложенная в этом доказательстве, до сих пор часто и плодотворно используется учеными в разных разнообразных случаях.

     У читателя, далекого от математики и ее приложений, может возникнуть вопрос: какова же роль этих предложений, потребовавших так много труда и изобретательности от целого ряда первоклассных математиков, какое приложение они имеют за пределами узких интересов теории вероятностей?

     Закон больших чисел состоит в следующем: среднее арифметическое очень большого числа случайных величин, принимающих свои значения независимо друг от друга, с практической достоверностью равно постоянной величине.

     Для иллюстраций значения этого закона приведем два примера. Известно, что, как бы тщательно ни производилось какое-либо измерение, невозможно получить абсолютно точный результат, неизбежны ошибки. Поэтому в результате многократно повторяемых измерений мы получим ряд значений, вообще говоря, отличающихся друг от друга. Какое же из них считать истинным? Как его найти в этом ряду значений? Закон больших чисел как раз и утверждает, что среднее арифметическое результатов отдельных измерений практически не будет отличаться от истинного значения измеряемой величины. В качестве другого примера рассмотрим давление газа на стенку сосуда. Это давление есть результат ударов о стенку отдельных молекул газа, двигающихся со скоростями, имеющими случайные значения. Таким образом, давление в каждой части поверхности сосуда должно быть подвержено случайным колебаниям, так как число и сила ударов являются делом случая. Но опыт учит, что давление на стенки сосуда распределяется равномерно. В чем же здесь причина? Закон больших чисел дает нам на это ответ: так как давление складывается из огромного количества ударов отдельных частиц, то среднее арифметическое этих отдельных давлений (а значит, и все результирующее давление) с практической достоверностью является постоянной величиной. Закон больших чисел, таким образом, дает нам представление о суммарном действии большого числа случайных величин.

     Установив, в каких условиях справедлив закон больших чисел, - значит, дать всему естествознанию и технике надежную основу для применения этого важного закона. Это и сделал Марков. Но он сделал и дальнейший шаг.

     Результаты отдельных измерений, отдельные значения случайных величин, вообще говоря, сильно отличаются от их среднего значения. Возникает вопрос: как часто случайная величина, имеющая различные значения, будет иметь какое-либо определенное значение? Так, например, какая часть молекул газа, заключенного в сосуд, обладает данной скоростью?

     Ответ на такие вопросы дает центральная предельная теорема теорий вероятностей. Она показывает, что независимо от природы случайных величин вероятности принимаемых ими значений подчиняются одному и тому же вполне определенному закону.

     Благодаря этому артиллеристы овладели законом рассеяния снарядов и уверенно ведут стрельбу, не смотря на то, что тысячи случайных причин отклоняют снаряд от цели. Благодаря этому физики могут с непоколебимой уверенностью указать, какая доля из мириада молекул обладает той или иной скоростью, и т. д.

     Дать доказательство этой теоремы – значит дать естествознанию и технике возможность предвидеть там, где господствует слепой случай и где, кажется, царит хаос.

     Таково в общих чертах значение указанных теорем для естествознания.

     Указанные исследования Маркова и все, что делалось до него, относилось к так называемой схеме последовательности независимых случайных величин. Общая идея, заложенная в этой схеме, состоит в том, что случайные колебания рассматриваемых величин представляются как суммы взаимно независимых случайных величин. Она находит многочисленные приложения в различных вопросах естествознания и техники и остается одним из интереснейших объектов исследования в математике. Такие представления принесли огромную пользу, например, в целом ряде физических теорий (диффузия, броуновское движение и др.)

     Второй период исследований по теории вероятностей. Однако изложенная схема не  в состоянии отобразить всего многообразия физических явлений. Огромное количество явлений физики, естествознания и техники протекает по более сложным законам. Так, например, нельзя считать независимыми крепости двух соседних отрезков пряжи, так как эти отрезки связаны между собой общими волокнами. Или же численности некоторых колоний бактерий за два близкие момента времени, конечно, нельзя считать независимыми, так как численность колоний в начальный момент оказывает значительное влияние на ее дальнейшее развитие.

     Математическую теорию, способную описать более сложные явления, начал строить, и это строительство далеко продвинул Марков. Он предложил изучать с точки зрения теории вероятностей схемы, в которых предыдущие состояния системы влияют на состояние системы в последующий моменты. Если вероятность перехода системы из одного состояния в другое зависит от предыдущей истории развития системы, то такие переходы системы от состояния к состоянию Марков предложил называть простыми цепями. Если же эти вероятности зависят от предыдущих состояний, то он их назвал сложными цепями. Марков обнаружил, что основные теоремы, полученные для схемы независимых случайных величин, могут быть доказаны и для схемы сложных цепей. Это было колоссальным завоеванием науки.

     В честь творца теории описанная схема названа «схемой цепей Маркова». Создавая свою теорию, он не имел перед собой каких-либо конкретных физических образов, а строил только новую математическую теорию. Поэтому, когда он захотел проиллюстрировать на примерах свои результаты, то обратился не к каким-либо физическим или техническим задачам, а исследовал зависимость в чередовании гласных и согласных в первых главах «Евгения Онегина» и «Детских годах Багрова-внука». Прошло, однако, немного лет, и «цепи Маркова»  нашли широкие физические приложения в работах Планка, Эйнштейна и других ученых. Эти работы вызвали, в свою очередь, бурное развитие математических исследований в этой области. Виднейший ученые у нас и заграницей начали создавать новый раздел теории вероятностей – теорию случайных процессов.

     Последействие идей Маркова. Каждая наука имеет свою армию энтузиастов-строителей. Одни из них скромно складывают отдельные кирпичики в здание, создаваемое по чужим проектам, другие же в грандиозном полете мысли создают идеи новых строек и кладут основы их фундамента. Их ученики и продолжатели стремятся к завершению начатого ими строительства. Наш народ вправе гордиться своими зодчими в науке, одним из которых является и А.А. Марков. Мы можем гордиться тем, что в здании, создаваемом по его проекту, ужились в прекрасном содружестве интересы различных наук.

     Лучшим памятником для ученого является развитие его исследований. А.А. Маркову такой памятник создан: его работы как в теории чисел и теории вероятностей, так и в других частях математики продолжают жить и развиваться спустя много лет после смерти их автора.